Albert Brüggen studeerde bij Elias Arizcuren en Dimitri Ferschtman aan het Sweelinck Conservatorium in Amsterdam - de voorloper van het Conservatorium van Amsterdam - waar hij in 1993 zijn diploma behaalde. Tijdens zijn studie was hij solocellist bij het Nationaal Jeugdorkest. Hij volgde verschillende masterclasses en won in 1992 de tweede prijs op het internationale Tromp Celloconcours in Eindhoven.

Na zijn studie legde Albert Brüggen zich meer en meer toe op de historische uitvoeringspraktijk. Als veelgevraagd solist en continuospeler in heel Europa heeft hij met vrijwel alle toonaangevende oude-muziekensembles opgetreden. Hij is solocellist van het Orkest van de Achttiende Eeuw, Musica Alta Ripa in Hannover en Cantus Cölln in Keulen. Hij trad ook op als solist met het orkest van de Achttiende Eeuw in de celloconcerten van Schumann, Haydn en Robert Volkmann. In 2013 was hij te gast op het prestigieuze Festival voor Oude Muziek in het Oostenrijkse Melk, waar hij de zes solosuites van Bach uitvoerde en opnam. Daarnaast werkte hij mee aan talloze cd-opnamen.

Als docent was Albert Brüggen vanaf 1998 betrokken bij de gerenommeerde zomercursus Woudschoten voor kamermuziek.